angleboy 发表于 2018-9-16 23:00

马尔可夫决策过程MDP

转自:https://blog.csdn.net/zz_1215/article/details/441388231. 马尔可夫模型的几类子模型大家应该还记得马尔科夫链(Markov Chain),了解机器学习的也都知道隐马尔可夫模型(Hidden Markov Model,HMM)。它们具有的一个共同性质就是马尔可夫性(无后效性),也就是指系统的下个状态只与当前状态信息有关,而与更早之前的状态无关。马尔可夫决策过程(Markov Decision Process, MDP)也具有马尔可夫性,与上面不同的是MDP考虑了动作,即系统下个状态不仅和当前的状态有关,也和当前采取的动作有关。还是举下棋的例子,当我们在某个局面(状态s)走了一步(动作a),这时对手的选择(导致下个状态s’)我们是不能确定的,但是他的选择只和s和a有关,而不用考虑更早之前的状态和动作,即s’是根据s和a随机生成的。我们用一个二维表格表示一下,各种马尔可夫子模型的关系就很清楚了:
不考虑动作考虑动作
状态完全可见马尔科夫链(MC)马尔可夫决策过程(MDP)
状态不完全可见隐马尔可夫模型(HMM)不完全可观察马尔可夫决策过程(POMDP)
2. 马尔可夫决策过程一个马尔可夫决策过程由一个四元组构成M = (S, A, Psa, R) MDP 的动态过程如下:某个智能体(agent)的初始状态为s0,然后从 A 中挑选一个动作a0执行,执行后,agent 按Psa概率随机转移到了下一个s1状态,s1∈ Ps0a0。然后再执行一个动作a1,就转移到了s2,接下来再执行a2…,我们可以用下面的图表示状态转移的过程。http://images.cnitblog.com/blog/489049/201401/131433102201.jpg如果回报r是根据状态s和动作a得到的,则MDP还可以表示成下图:http://images.cnitblog.com/blog/489049/201401/132312526273.jpg3. 值函数(value function)上篇我们提到增强学习学到的是一个从环境状态到动作的映射(即行为策略),记为策略π: S→A。而增强学习往往又具有延迟回报的特点: 如果在第n步输掉了棋,那么只有状态sn和动作an获得了立即回报r(sn,an)=-1,前面的所有状态立即回报均为0。所以对于之前的任意状态s和动作a,立即回报函数r(s,a)无法说明策略的好坏。因而需要定义值函数(value function,又叫效用函数)来表明当前状态下策略π的长期影响。用Vπ(s)表示策略π下,状态s的值函数。ri表示未来第i步的立即回报,常见的值函数有以下三种:a)http://images.cnitblog.com/blog/489049/201401/171629098615.pngb)http://images.cnitblog.com/blog/489049/201401/171629100809.pngc)http://images.cnitblog.com/blog/489049/201401/171629102528.png其中:a)是采用策略π的情况下未来有限h步的期望立即回报总和;b)是采用策略π的情况下期望的平均回报;c)是值函数最常见的形式,式中γ∈称为折合因子,表明了未来的回报相对于当前回报的重要程度。特别的,γ=0时,相当于只考虑立即不考虑长期回报,γ=1时,将长期回报和立即回报看得同等重要。接下来我们只讨论第三种形式, 现在将值函数的第三种形式展开,其中ri表示未来第i步回报,s'表示下一步状态,则有:http://images.cnitblog.com/blog/489049/201401/171629104860.png给定策略π和初始状态s,则动作a=π(s),下个时刻将以概率p(s'|s,a)转向下个状态s',那么上式的期望可以拆开,可以重写为:http://images.cnitblog.com/blog/489049/201401/171629106589.png上面提到的值函数称为状态值函数(state value function),需要注意的是,在Vπ(s)中,π和初始状态s是我们给定的,而初始动作a是由策略π和状态s决定的,即a=π(s)。定义动作值函数(action value functionQ函数)如下:http://images.cnitblog.com/blog/489049/201401/171629108773.png给定当前状态s和当前动作a,在未来遵循策略π,那么系统将以概率p(s'|s,a)转向下个状态s',上式可以重写为:http://images.cnitblog.com/blog/489049/201401/171629110338.png在Qπ(s,a)中,不仅策略π和初始状态s是我们给定的,当前的动作a也是我们给定的,这是Qπ(s,a)和Vπ(a)的主要区别。知道值函数的概念后,一个MDP的最优策略可以由下式表示:http://images.cnitblog.com/blog/489049/201401/171629112670.png即我们寻找的是在任意初始条件s下,能够较大化值函数的策略π*。4. 值函数与Q函数计算的例子上面的概念可能描述得不够清晰,接下来我们实际计算一下,如图所示是一个格子世界,我们假设agent从左下角的start点出发,右上角为目标位置,称为吸收状态(Absorbing state),对于进入吸收态的动作,我们给予立即回报100,对其他动作则给予0回报,折合因子γ的值我们选择0.9。为了方便描述,记第i行,第j列的状态为sij, 在每个状态,有四种上下左右四种可选的动作,分别记为au,ad,al,ar。(up,down,left,right首字母),并认为状态按动作a选择的方向转移的概率为1。http://images.cnitblog.com/blog/489049/201401/132330225338.png1.由于状态转移概率是1,每组(s,a)对应了的s'。回报函数r(s'|s,a)可以简记为r(s,a)如下所示,每个格子代表一个状态s,箭头则代表动作a,旁边的数字代表立即回报,可以看到只有进入目标位置的动作获得了回报100,其他动作都获得了0回报。 即r(s12,ar) = r(s23,au) =100。 http://images.cnitblog.com/blog/489049/201401/132323587361.jpg2. 一个策略π如图所示: http://images.cnitblog.com/blog/489049/201401/161254079863.png3. 值函数Vπ(s)如下所示http://images.cnitblog.com/blog/489049/201401/132324064863.jpg根据Vπ的表达式,立即回报,和策略π,有Vπ(s12) = r(s12,ar) = r(s13|s12,ar) = 100 Vπ(s11)= r(s11,ar)+γ*Vπ(s12) = 0+0.9*100 = 90Vπ(s23) = r(s23,au) = 100 Vπ(s22)= r(s22,ar)+γ*Vπ(s23) = 90 Vπ(s21)= r(s21,ar)+γ*Vπ(s22) = 814. Q(s,a)值如下所示http://images.cnitblog.com/blog/489049/201401/132345002982.png有了策略π和立即回报函数r(s,a), Qπ(s,a)如何得到的呢?对s11计算Q函数(用到了上面Vπ的结果)如下:Qπ(s11,ar)=r(s11,ar)+ γ *Vπ(s12)=0+0.9*100 = 90Qπ(s11,ad)=r(s11,ad)+ γ *Vπ(s21)= 72 至此我们了解了马尔可夫决策过程的基本概念,知道了增强学习的目标(获得任意初始条件下,使Vπ值较大的策略π*),下一篇开始介绍求解最优策略的方法。PS:发现写东西还是蛮辛苦的,希望对大家有帮助。另外自己也比较菜,没写对的地方欢迎指出~~ [注]采用折合因子作为值函数的MDP也可以定义为五元组M=(S, A, P, γ, R)。也有的书上把值函数作为一个因子定义五元组。还有定义为三元组的,不过MDP的基本组成元素是不变的。参考资料: R.Sutton et al. Reinforcement learning: An introduction , 1998 T.Mitchell. 《机器学习》,2003 金卓军,逆向增强学习和示教学习算法研究及其在智能机器人中的应用,2011 Oliver Sigaud et al,Markov Decision Process in Artificial Intelligence, 2010

farsmile 发表于 2018-9-17 10:22

好东西,学习了,多谢楼主分享:rolleyes::rolleyes:
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