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伽罗瓦理论之美

2017-5-2 11:55| 发布者: 炼数成金_小数| 查看: 12993| 评论: 0|原作者: zhaohaotong|来自: zhaohaotong的博客

摘要: 伽罗瓦(évaristeGalois,1811~1832),一个21岁就去世了的年轻人,开创了现代代数学的先河。他创建的群论、域论,优美奥妙,已经成为现代代数学的基本工具。我花了两个月的时间研读伽罗瓦理论,随着理解的深入, ...

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伽罗瓦(évaristeGalois,1811~1832),一个21岁就去世了的年轻人,开创了现代代数学的先河。他创建的群论、域论,优美奥妙,已经成为现代代数学的基本工具。我花了两个月的时间研读伽罗瓦理论,随着理解的深入,我内心不断感受到震撼,心底油然而生对伽罗瓦的钦佩与崇拜。这种感觉就像终于看懂了世界上最美妙的画作、听懂了世界上最优雅的旋律一样,不由自主的希望与别人共享。遗憾的是,数学之美只能是那些真正研读并理解了它的人们才能感受得到。伽罗瓦理论虽然优美,但是却足够深奥,除了数学专业人士和肯于钻研的数学爱好者之外,尚不能被普通大众所理解。

可是我不甘心,我期望着尽自己的努力,用最简明通俗的语言,尽量不涉及复杂的数学公式和逻辑推导,而把伽罗瓦理论的优美展现在大众面前。伽罗瓦是一个200年前有故事的年轻人,伽罗瓦理论是一座险峻的高峰。让我们一边阅读伽罗瓦的人生故事,一边尝试着攀登这座高峰吧。

首先,我们来引用伽罗瓦的一段话“Jump above calculations, group the operations, classify themaccording to their complexities rather than their appearance; this, I believe,is the mission of future mathematicians; this is the road I'm embarking in thiswork.”(跳出计算,群化运算,按照它们的复杂度而不是表象来分类;我相信,这是未来数学的任务;这也正是我的工作所揭示出来的道路。)

当21岁的伽罗瓦在临死前一天晚上把他主要的研究成果以极其精简、跳跃的思维写在草稿纸上的时候,没有人知道当代最伟大的数学工具和数学研究方向已经在伽罗瓦的头脑中存在了1年多的时间了。甚至是在伽罗瓦第二天参与一个愚蠢的决斗而死后的14年内,都没有人彻底弄明白伽罗瓦写的到底是什么,他头脑中那伟大而天才的数学结构是怎样的?看看这些霸气的名字吧,高斯、柯西、傅立叶、拉格朗日、雅可比、泊松、……,这些在那个时代、同时也是人类历史上的伟大的数学家、物理学家都没有理解伽罗瓦的理论,从这个意义上讲,伽罗瓦恐怕是人类历史上最具天才的数学家了。

让我们先来看一些对比:
(1)1824年,挪威数学家阿贝尔发表了《一元五次方程没有一般代数解》的论文,用了50多页的篇幅和大量的计算,论证了对于一般的一元五次方程是不可能根式求解的。当时阿贝尔的证明今天看来,充满着智慧和复杂的计算,但是仍不够严谨。当我们今天使用伽罗瓦理论来论证这一点的时候,论证过程为“一般一元五次方程的伽罗瓦群同构于全置换群S5,而S5不是可解群,因此一般一元五次方程不可根式求解。”

(2)1801年,年轻的24岁“数学王子”高斯通过复杂的计算推导,证明了xp-1=0(p为素数)是可根式求解的,证明过程使用了大量计算技巧,充分展示了高斯的数学计算天赋。今天我们使用伽罗瓦理论来论证这一点的时候,论证过程为“方程xp-1=0(p为素数)在有理数域Q上的伽罗瓦群同构于素数阶模p同余类乘群Zp,而Zp是循环群,必为可解群,因此方程xp-1=0可根式求解。”甚至我们可以类似的论证p不为素数时的方程xn-1=0在Q上的伽罗瓦群同构于模n同余类乘群Z’n,为可换群(阿贝尔群),必为可解群,因此方程xn-1=0可根式求解。

伽罗瓦理论还可以轻松的解决正n边形的尺规作图问题,证明三等分角、倍立方、化圆为方(这个有赖于π是超越数的证明)的尺规作图不可能问题。今天,伽罗瓦的理论已经发展成叫做“近世代数”(又叫抽象代数)的一个专门数学分支,其应用拓展到了拓扑、微分几何、混沌等前沿数学研究领域以至于物理、化学等众多科学领域,成为了现代科学研究的重要基础工具。1994年英国数学家安德鲁·怀尔斯(AndrewWiles)证明著名的“费马大定理”的时候,就主要应用了伽罗瓦理论。

当看到一大批通过繁杂计算很难得到证明的问题,能够被使用精巧的数学结构来简洁而精准证明的时候,你也许开始感受到伽罗瓦理论的优美——但这仅仅是一个开始。从这个“开始”,我们会逐渐感受到伽罗瓦所说的“Jump above calculations, group the operations.”的含义。那么伽罗瓦到底发明了什么数学结构和工具,使得原来复杂的问题变得清晰起来了呢?

一、更高层次的抽象——群、环、域
【伽罗瓦的故事】
有人说“数学也许只存在于数学家的头脑之中”,至少数学是发端于数学家头脑的。1823年,12岁的埃瓦里斯特·伽罗瓦进入了他的第一所学校——路易·勒格兰皇家中学,一所声望很高但相当专制的学校,但是直到16岁,伽罗瓦才被准许读他的第一门数学课程。虽然12~16岁期间的伽罗瓦没有机会研究数学,但是这时期法国社会上和学校中发生的一些事件点燃了他的共和主义倾向,奠定了他日后参与政治的悲剧人生的基础。

原本成绩优秀的伽罗瓦一旦开始学数学,就像变了一个人,变得对其它课程都不重视,而只醉心于数学这一门课程。学校给他的评语是“该生只宜在数学的较高领域中工作,这个孩子完全陷入了对数学的狂热之中。”没有人知道16~18岁中学时期的伽罗瓦头脑中在想些什么,人们只能从表面上看到他所掌握的数学知识足以通过中学的考试要求,但是他对问题的解答往往让考官理解不了。更糟糕的是,他经常把大量的演算放在头脑中进行,使得平庸的考官们更为茫然和沮丧。

现有的材料表明,17岁的伽罗瓦已经开始研究一般的一元五次方程求解的问题了,他曾提交了2篇论文给法国科学院,当时的评审专家是著名数学家柯西。柯西显然被伽罗瓦的论文所震惊,他建议伽罗瓦重新以专题的形式提交这两篇论文,并参加数学大奖的评审。这期间正赶上伽罗瓦的父亲因政治原因而自杀,伽罗瓦在参加完父亲的葬礼后,把改好的专题论文提交给了法国科学院秘书、著名数学家傅立叶。可惜的是,傅立叶在评审前几个星期就去世了,在这个过程中伽罗瓦的论文也丢失了,从而失去了参加评奖的机会。天知道为什么这两篇很可能是那个时代最伟大的论文被丢失了?难道上帝都在嫉妒伽罗瓦么?

【伽罗瓦理论】
在我们已经全面了解并极大发展了伽罗瓦理论的今天,回想1828年伽罗瓦提交的那两篇论文,我们有理由猜测,伽罗瓦是站在更高的层次上来看待数和运算的。在伽罗瓦看来,“数和运算”组合在一起可以构成一种数学结构,这是一种更加本质、更加抽象的数学结构,当继续把这种结构脱离“数字和常规意义上的运算”而抽象出来的时候,就形成了新的数学概念——群。

(1)群:给一个集合中的元素定义一种运算“乘法”(这个“乘法”不是数字运算的乘法,而只是借用了这个名字,因此加上了引号),如果这个集合中的元素和这个“乘法”满足:

<1>封闭性:集合中任两个元素相“乘”的结果在这个集合之内;
<2>结合律:这个“乘法”满足(a*b)*c=a*(b*c);
<3>单位元:集合中存在某个元素e,对于任意集合中的其它元素a有e*a=a*e=a,e被称为单位元;
<4>逆元:对于集合中任意元素a,一定存在集合中的另外一个元素a-1,使得a*a-1=a-1*a=e,a与a-1互为逆元。

此时,这个集合与这个运算组合在一起被称为“群”。

我本不愿意罗列概念,但是如果要想感受到伽罗瓦理论之美,就必须弄清楚“群”的概念。就像一个人想要欣赏美妙的音乐,你总要能区分音调高低、节奏快慢一样,如果高音“1”和低音“1”在你听来是一样的,那么很难想象你可以欣赏美妙的交响乐。

“群”很显然是把数字及其运算关系抽象之后形成的一种数学结构。容易验证,整数集合在加法运算下成群(这里的加法就通常意义的数字加法,对应着群定义中的“乘法”),其单位元是数字0;但是整数集合在乘法运算下不成群,这是因为对于大部分整数,没有乘法的逆元。

其实群在日常生活中也会存在,常见的是魔方,它的全部操作构成一个集合,再定义任意两种操作的“乘法”为“先执行第一种操作、再执行第二种操作”,则容易验证魔方的全部操作在这种“乘法”下成群,叫做RUBIC群。

(2)环与域:在一个集合上定义两种运算“加法”和“乘法”,如果这个集合在这个“加法”下成群,而在这个“乘法”下只满足“封闭性”与“结合律”,则称这个集合与这两种运算构成一个“环”;如果这个集合去除“加法”群下的单位元后形成的新集合在“乘法”下成群,则称这个集合与这两种运算构成一个“域”。显然,“域”是一种特殊的“环”。

对不起了,伽罗瓦理论是够抽象的,对于完全没有接触过群论、域论的人来说,这几个概念就挺费琢磨。可是没有办法,伽罗瓦理论这座高峰就需要踩着这些概念的台阶来攀登,你想欣赏最美好的风光,就需要把这些“概念”踩在脚下,“无限风光在险峰”。

如果看懂了这三个概念,特别是看懂了“群”和“域”这两个概念,就会理解这些结构其实就是从基础的数字运算关系中抽象出来的。比如:有理数在加法和乘法运算下构成一个域,0是加法单位元,1是乘法单位元,不包含0的有理数在乘法运算下成群;实数、复数在加法和乘法下都构成域;无理数在加法和乘法下不能构成域,这是因为无理数之和可能是有理数,不满足封闭性。

下面用群和域的概念做一个思维体操,证明有理数是最小的数域(由数字和加法、乘法构成的域):
数域必有加法单位元0和乘法单位元1;
由加法封闭性得到n个1相加必然还在域内,于是任意自然数n在域内;
再由加法存在逆元得到-n也在域内,这样全部整数必然在域内;
再由乘法存在逆元得到,任意整数n(0除外)的倒数1/n必在域内;
再由乘法成群(去除0后)得到,任意m/n(m和n是整数)也在域内。
这样,就证明了有理数必须在数域之内,而且构成了一个域。因此,有理数是最小数域。
做完这个思维体操我们可以知道,不要小看群、环、域这样一些基本概念,这些概念定义的是一种数学结构,只从基本概念出发,就可以得到很多复杂的结果。譬如直到上世纪80年代,数学家们才真正彻底解决了全部有限单群分类的问题,这是经过了近30年时间、由超过100位数学家在500多种期刊上写下的超过10000页的论文而最终解决的,其基础则是200年前伽罗瓦提出的概念——群。

(3)群和域的同构群,不是随随便便就能构成的;域,或许更复杂一些。
伽罗瓦发现,有些表象不同的群之间,其实质是完全相同的。这样的群称为是“同构”的,也就是说,这样的群在结构和性质上都完全相同,只有表面符号上存在差别。同构的群在去掉表象之后,可以认为是同一个群。

比如,对某一向量进行旋转的操作构成一个集合A={逆时针转0度,逆时针120度,逆时针240度},定义这个集合中元素的“乘法”为先进行第一个操作、再进行第二个操作,于是A在此“乘法”下构成一个群;再定义另外一个集合B={1,e2πi/3,e4πi/3},定义其上的“乘法”为普通的复数乘法,则B在乘法下也构成一个群。简单分析即可发现,A和B这两个群结构是完全相同的。

群同构的严格定义是:存在两个群A、B之间的一个双射(即一一对应的映射)ϕ:A→B,满足ϕ(a*b)=ϕ(a)×ϕ(b),其中a、b∈A,ϕ(a)、ϕ(b)和ϕ(a*b)∈B,*和×分别是群A和B的“乘法”。
类似的,域也有同构的情况。简单说两个域的同构定义为:两个域上的“加法”群同构,并且去除“加法”单位元之后的两个域上的“乘法”群也要同构。

好了,先不再讲述数学概念了,一些不熟悉数学的人可能已经糊涂了。哪怕只看完最基本的概念,我们也会震惊于伽罗瓦的天才头脑。一个16岁才开始接触数学、21岁就因决斗而死去的年轻人,是如何在那短短5年的时间里面,想通如此复杂的数学构造、得到如此美妙的数学结论的呢?

二、巧妙的概念——扩域、根式可解、根式塔
【伽罗瓦的故事】
由于伽罗瓦的父亲死于政治事件,再加上伽罗瓦自身的共和主义政治倾向,导致他偏执的认定他的论文丢失事件是由于政治原因而被法国科学院故意制造的。特别是一年以后,伽罗瓦的另外一篇论文被科学院拒稿后,他更认定了这一点。

但是,今天再来分析这件事,可以比较确定的讲,伽罗瓦的这种判断完全是他的一厢情愿。事实上论文丢失很可能就是一个偶然事件(特别是由于傅立叶的去世),而第二次拒稿则是由于伽罗瓦的思维过于跳跃,论文中的论证过于简单,没有详细展开,导致论文评审者无法判定论文是否严密正确。事实上,以伽罗瓦的天才,在他眼里看来很简单、显然成立的论证过程,可能在别人眼里看来是需要复杂证明的。

于是,伽罗瓦开始放松了他的研究工作而主要来从事共和主义事业的斗争。这时的伽罗瓦就读于高等师范学校,他作为闹事者的名气已经超越了作为数学研究者的名声,大家已经不再把他当作是数学研究者了,而更多的把他看成是闹事学生。特别是在1830年的七月革命期间,他公开发表严厉攻击校长的言论,终于被校长基尼约特给开除。从此,伽罗瓦的正式数学生涯到此结束。

被开除后的伽罗瓦参加了国民警卫队的炮兵部队,试图成为一名职业反叛者。可是仅仅1个月后,新国王路易·菲利普取消了炮兵部队,伽罗瓦彻底失业了。索菲·热尔曼,一位当时的年长女数学家曾经在信件中记述伽罗瓦“他身无分文,他的母亲也几乎没有钱财,但他却不改变得罪人的习性”。

在1831年上半年的一次共和主义者聚会活动上,伽罗瓦表达了杀死国王的意图,于是被控“威胁国王生命罪”而受审。陪审团最终考虑到他年仅20岁,尚未完全成熟,判决无罪释放。一个月后,1831年7月14日的巴士底日,伽罗瓦身着已经被解散并查禁的炮兵警卫队制服在巴黎游行,从而被判处监禁。之后在监狱的几个月中,他学会了喝酒,在一次喝醉后还试图自杀。

1832年3月,由于霍乱的爆发,伽罗瓦被提前释放。之后的几个星期里,伽罗瓦和一位巴黎医生的女儿斯特凡妮发生了风流韵事。偏偏这个女人已经和一名叫做Pescheux d’Herbinville的绅士订婚了。这名绅士知道了自己未婚妻和伽罗瓦的事情后,十分愤怒,毫不犹豫向伽罗瓦提出挑战。这名绅士是当时法国一名较好的枪手,伽罗瓦深知决斗会给自己带来什么,但是他仍然接受了挑战。

挑战的前夜,伽罗瓦知道第二天将是自己生命的终结了,他担心的是他被法国科学院拒绝的数学研究成果会永远消失,毕竟当时还没有人能够理解他的理论。他在这一个晚上力图写下他全部的数学思想,书写的字里行间不时的出现“斯特凡妮”或者“一个女人”等字样,还多次出现“我没有时间了”的感叹。在第二天凌晨,伽罗瓦写完了他的数学思想,并给他的朋友写了一封信。

伽罗瓦决斗前一晚所写的他的数学思想信中,伽罗瓦自信的写到“在我的一生中,我常常敢于预言当时我还不十分有把握的一些命题。但是我写在这里的一切已经清清楚楚地在我脑海里形成1年多了,我不愿意使人怀疑我宣布了自己未完全证明的定理。请公开请求雅可比或者高斯对这些定理的重要性(而不是定理的正确与否)发表他们的看法。然后,我希望有人会发现将这一堆东西整理清楚会是很有益处的事。”。

第二天,1832年5月30日,伽罗瓦只身一人参与决斗,最终腹部中弹,无望地倒在地上,胜利者悄然离去。伽罗瓦的兄弟阿尔弗雷德在几个小时之后到达现场,把他送到医院,但是为时已晚,腹膜炎已经形成,5月31日,伽罗瓦离开了人世。

【伽罗瓦理论】
我无法想象1830年到1832年这段时间,伽罗瓦在食不果腹、不断入狱的条件下,在把主要精力都投入到政治斗争的情况下,是如何继续深入思考他的数学研究课题的。在我看来,即使衣食无忧的情况下想把伽罗瓦的理论全部学懂,都是不容易的,何况是创造出来。
由于伽罗瓦的研究成果是以上面提到的方式展现在世人面前的,因此没有人能够准确知道他到底是如何想到这些概念和证明的,先后顺序是怎么样的,思维总体上是怎样贯穿的?以下只是我个人的猜测。

(1)伽罗瓦可能首先从“域”的角度出发,思考了域的扩张。
我们知道,有理数域Q是最小的数域,实数R、复数C也都构成一个数域,那么是否存在数域,范围大于有理数Q但是小于实数R、或者大于R小于C呢?甚至是否存在数域,其范围大于Q小于C,同时又不完全包含或者包含于R呢?这要从最小数域的扩张开始,域的扩张称为扩域。

扩域:把某个域F中添加进一个或几个不属于这个域的元素,在不改变原来域的“加法”和“乘法”的条件下,按照域的定义形成的新域E被称为原来域的扩域,记为E/F。
比如,我们在有理数域Q上添加一个无理数√2,形成一个新的数域Q(√2),则Q(√2)/Q就是Q上的一个扩域。由域的定义知道,这个形成的新域不只是包含√2,还包含着任何通过有理数与√2进行加法和乘法得到的数。其实,除了加法和乘法,域里面还有着逆元,加法的逆元运算对应着减法,乘法的逆元运算对应着除法。也就是说,表面上域定义了加法和乘法,实质上确定了加减乘除四则运算。域是更高层次上抽象出来的结构,但是落实到我们日常的数字和运算上,与小学就开始学习的四则运算没有什么不同。
可以证明,任何可以表示为a+b√2(a,b∈Q)的数都属于Q(√2)这个域,而这个域里面的任何数也都可以表示成为a+b√2(a,b∈Q)的形式。显然,这个Q(√2)就是一个范围大于Q但是小于R的数域。有了扩域这个工具,我们可以构造出无穷多个数域。

(2)之后伽罗瓦考虑的应该是如何定义方程的根式可解
因为在伽罗瓦从事数学研究的那5年,人们已经在开始猜测一般的一元五次方程不可根式求解。可是,到底什么是根式求解?字面意思很容易理解,就是一个一元高次方程的解如果可以使用方程的系数经过加减乘除和开方以及它们的组合运算表达出来,就是可以根式求解的;如果不能以这种方式表达,那就是不可以根式求解的。可这样的定义虽然从语言和表达的角度来说没有歧义,但是从数学的角度来说,还不够清晰。
伽罗瓦通过自己的深入思考,给出了根式可解的更优美的定义。在了解这个优美定义之前,需要思考以下一些毫无疑问是正确的结论:
一个数域里面的任何数,都可以通过这个数域中的其它数的加减乘除运算组合表达出来;
除了个别特殊情况外,一般来讲,数域中某个数的开方运算的结果是不属于这个数域的(类似于√2∉Q);
把数域中某个数开方运算的结果扩张进来成为一个扩域后,扩域中的数都可以使用原来数域中的数和这个开方运算的结果的加减乘除运算组合来表达,或者说这种扩域中的数一定可以使用原来数域之内的数的加减乘除和开方运算进行根式表达;
明白了上面这3条结论,就可以知道,能否根式表达与上面说的这种把数域中某个数的开方运算的结果扩张进来形成的扩域有着密切关系。我们把这种扩域定义为纯扩域。

纯扩域:B/F为扩域,B=F(d),d∈B,dm∈F,此时把B称为F的m型纯扩域。
显然,所谓m型纯扩域就是在域F中找一个数开m次方,然后把开方结果扩进来形成的扩域。可别小看这个纯扩域,根据前面的分析,纯扩域B中的任何数都可以通过域F中的数的加减乘除和开m次方运算得到。如果继续这样扩域下去,把F扩为F1,把F1扩为F2,…,无论多少次这种扩域,只要是有限次,最终的扩域Fn中的数都可以由域F中的数经过加减乘除和开方运算得到。由此,引出一个新概念,根式塔。

根式塔:不断扩域形成的域列,F=F1⊆F2⊆F3⊆…⊆Fr+1,如果每个扩域Fi+1/Fi(i=1,2, …,r)都是一个纯扩域,则称此域列为一个根式塔。

于是,数域F中的数通过加减乘除和开方运算所能得到的数,一定包括在某个根式塔的Fr+1之中。由此,伽罗瓦给出了根式可解的更清晰优美的定义。

根式可解:设一元多次方程f(x)的全部系数都包含在域F之内,此方程的全部根都包含在域E之内,且E是包含f(x)全部根的最小域(此时称E为F上多项式f(x)的根域),如果存在根式塔F=F1⊆F2⊆F3⊆…⊆Fr+1,且E⊆ Fr+1,称域F上的方程f(x)根式可解。

看到伽罗瓦给出的根式可解定义,我有一种感觉,也许伽罗瓦的脑子天生就是结构化的,他可以直接在一个大的范畴上进行思考和逻辑推导。本来通过语言描述的根式可解是一种模模糊糊的东西,但是经过伽罗瓦重新定义的根式可解变得清晰明确,有数学实体可以抓了。

三、“神来之笔”——域的自同构、伽罗瓦群与伽罗瓦对应
【伽罗瓦的故事】
伽罗瓦的葬礼因政治原因而变得混乱,政府认为伽罗瓦的葬礼将会造成一次政治集会,为了维护稳定,政府在葬礼之前的晚上逮捕了30名伽罗瓦的同志。尽管如此,还是有两千多个共和主义者参加了葬礼,从而与政府人员之间爆发了一场混战。这之后,不断有人怀疑伽罗瓦与斯特凡妮的风流韵事是一个阴谋,用来害死伽罗瓦的阴谋。直到今天,伽罗瓦到底是死于愚蠢的爱情还是政治阴谋仍然没有定论。但无论是哪种原因,这位研究数学才5年但是却被认为是最伟大的数学家之一的天才,在21岁的时候就离开了人世。这对数学界来说是一个重大的损失,只不过当时的人们还完全认识不到。

伽罗瓦虽然在决斗的前夜把他的数学思想写了出来,但是这种潦草的内容、跳跃的思维并不是立刻就被数学界所理解的。虽然伽罗瓦的兄弟和朋友把他写下的数学思想重新整理了一遍,并分送给了高斯、雅可比等人,但是伽罗瓦的伟大研究成果仍然没有得到理解和承认。直到14年后,法国数学家约瑟夫·刘维尔(JosephLiouville)重新整理并发表了伽罗瓦的著作,才使得伽罗瓦理论逐渐被世人所理解。

刘维尔本人也是一位著名的数学家,一生从事数学、力学和天文学的研究,涉足广泛,成果丰富,尤其对双周期椭圆函数、微分方程边值问题和数论中的超越数问题有深入研究。他是第一个证实超越数存在的人。

即使是这样一位著名数学家,仍然从1843年到1846年用了3年的时间来彻底研究伽罗瓦的理论,终于在1846年比较全面的理解了伽罗瓦的成就并发表出来。刘维尔虽然在数学领域有不小的贡献,但很可能他整理、理解并发表伽罗瓦理论是他在数学领域较大的贡献。代数学能够取得今天的成就,刘维尔功劳不小。

刘维尔在反思为什么伽罗瓦的理论在很长一段时间内不能得到理解的原因时,写下了这样一段话:
过分地追求简洁是导致这一缺憾的原因。人们在处理像纯粹代数这样抽象和神秘的事物时,应该首先尽力避免这样做。事实上,当你试图引导读者远离习以为常的思路进入较为困惑的领域时,清晰性是必需的,就像笛卡尔说过的那样:“在讨论超前的问题时务必空前地清晰。”伽罗瓦太不把这条箴言放在心上,……

伽罗瓦再也回不来了!我们不要再过分地作无用的批评,让我们把缺憾抛开,找一找有价值的东西,……

我的热心得到了好报。在填补了一些细小的缺陷后,我看出了伽罗瓦用来证明这个美妙的定理的方法是完全正确的,在那个瞬间,我体验到一种强烈的愉悦 。

真心希望大家了解了伽罗瓦理论之后,能够像刘维尔一样有一种“强烈的愉悦感”。伽罗瓦的故事讲完了,伽罗瓦那天才的思想还需要继续。

【伽罗瓦理论】
从前面的介绍我们知道,根式可解需要找到一个根式塔,根式塔是一个域列。只知道这些,我们还是解决不了方程是否能够根式求解的问题,因为我们仍然不知道怎样判断是否存在这种根式塔?

伽罗瓦在思考这个问题的时候,发现或者说找到了一种对应关系——伽罗瓦对应。应该讲,这种对应关系是人类思维领域的“神来之笔”。我无法想象伽罗瓦到底是通过怎样的思考发现了这种对应关系,对我自己来说,能够较快理解伽罗瓦对应就已经谢天谢地了。
伽罗瓦对应的发现应该是从域的自同构映射开始的。

域的自同构映射:前面我们介绍了域的同构,知道了两个域同构意味着两个域之间存在着满足同构关系的映射。显然一个域一定是和自己同构的,我们把某个域E到自身的同构映射叫做自同构映射。事实上,这种自同构映射未必只有一个,我们把全部自同构映射组成的集合记为Aut(E)。

现在开始,我们的思维要在理解群、域的基础上再上一个台阶,开始思考域的自同构映射组成的集合了。记住,Aut(E)中的元素是E→E集合间的映射。

下面再做一个稍复杂点的思维体操,定义Aut(E)上两个元素σ1和σ2之间的“乘法”为σ1*σ2(a)=σ1(σ2(a)),证明Aut(E)在这个“乘法”下构成群。

<1> 构成群首先要满足封闭性,也就是对于σ1∈Aut(E)和σ2∈Aut(E),要证明σ1*σ2∈Aut(E)。证明如下:
请记住,Aut(E)中的σ都是自同构映射,必然满足σ(a+b)=σ(a)+σ(b),σ(a*b)=σ(a)*σ(b)。由此,我们可以得到
σ1*σ2(a+b)=σ1(σ2(a+b))=σ1(σ2(a)+σ2(b))=σ1(σ2(a))+σ1(σ2(b))=σ1*σ2(a)+σ1*σ2(b)
σ1*σ2(a*b)=σ1(σ2(a*b))=σ1(σ2(a)*σ2(b))=σ1(σ2(a))*σ1(σ2(b))=σ1*σ2(a)*σ1*σ2(b)
也即σ1*σ2也满足自同构映射的条件,于是σ1*σ2∈Aut(E)。封闭性得到了满足。

<2> 结合律:
(σ1*σ2)*σ3(a)=(σ1*σ2)(σ3(a))=(σ1(σ2(σ3(a)))=σ1*(σ2*σ3)(a)
也就是(σ1*σ2)*σ3=σ1*(σ2*σ3),满足结合律。

<3> 单位元:显然对于E→E上的恒等映射σe,满足σe(a)=a,∀a∈E,容易验证σe即为Aut(E)的单位元。

<4> 逆元:∀σ∈Aut(E),a∈E且a≠0,有
σ(0)=σ(a-a)=σ(a)-σ(a)=0;
σ(a)=σ(1*a)=σ(1)*σ(a)⇒σ(1)=1;
σ(1)=σ(a*a-1)=σ(a)*σ(a-1)=1⇒σ(a)≠0;即a≠0时σ(a)≠0。
于是得到,a≠b时,σ(a-b)=σ(a)-σ(b)≠0⇒σ(a)≠σ(b)。这说明σ是单射,单射必有逆映射,令其逆映射为σ-1,则必有σ*σ-1(a)=σ(σ-1(a))=a⇒σ*σ-1=σe,确定逆元必然存在。

综上,Aut(E)在上述“乘法”定义下构成群。

对群、域不熟悉的人来说,也许这个思维体操稍微有些“绕”,但是对于熟悉的人来说,这个关系是一眼就可以看出来的。我想,如果一个不熟悉的人把上述并不复杂的推导看明白后,也会感觉到愉悦的。

当然,我相信对于伽罗瓦来说,上述结论是瞬间就想到了的。不仅如此,伽罗瓦还进一步找到了群Aut(E)的一类子群——我们今天称之为伽罗瓦群。

伽罗瓦群:E/F是扩域,且E是系数在F内的某个多项式方程的根域(根域参见前面的说明,以后会将这种根域叫做F的正规扩域),E上全部自同构映射的集合Aut(E)中使F中元素不变的那些映射形成的子集构成Aut(E)的一个子群,称为E在F上的伽罗瓦群,记为G(E/F)。

概念越来越复杂了,解释一下,就是Aut(E)中的自同构映射,有一部分是在F上的恒等映射,也就是说F中的元素在这些映射的作用下是不变的,这类映射的全体组成的集合也构成一个群,是Aut(E)的子群,叫做E在F上的伽罗瓦群。

有人会问,为什么要搞出个伽罗瓦群的概念呢?下面就是见证奇迹的时刻了:
设f(x)∈F[x](意思是f(x)的系数都在F内),则对于任意σ∈G(E/F),必然有σ(f(x))=f(x),这是因为σ作用在F上是恒等映射;同时,设方程f(x)=0有n个根,分别是a1、a2、…、an,那么f(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-an),于是σ(f(x))=(x-σ(a1))(x-σ(a2))…(x-σ(an))=f(x)= (x-a1)(x-a2)…(x-an)。这说明σ(a1)、σ(a2)、…、σ(an)只是a1、a2、…、an的一组置换(意思是,还是这n个数,只是位置发生了变化,如σ(a1)= a2、σ(a2)= a1之类的变换)!

看到了么,伽罗瓦群中的每个映射都对应着方程根的一组置换!要知道,从500年前的费尔洛解出了一般一元三次方程,到400年前的塔尔塔利亚、卡丹、费拉里解出一元四次方程,一直到200年前的拉格朗日创造出了方程的预解式,高斯得到了高斯定理,都是在大量的计算推导中,模模糊糊的察觉到方程的解与根的置换似乎有关系。直到伽罗瓦横空出世,清晰的告诉世人,一元高次方程是否可以根式求解的奥秘,就藏在这些根的置换当中。

当然,只知道宝藏的位置还不够,还需要有打开宝藏的钥匙。天才的伽罗瓦找到了这把钥匙,我把它称为“神来之笔”——伽罗瓦对应。

记得讨论根式可解的时候,我们说需要找到一个根式塔,根式塔是一个域列。假设存在一个域列F=F1⊆F2⊆F3⊆…⊆Fr+1=E(注意,这个域列不要求一定是根式塔),且E/F是正规扩域(参见上面描述),则可以证明任意E/Fi,i=1, …,r,也是正规扩域。于是存在一组伽罗瓦群G(E/Fi),这组伽罗瓦群都是G(E/F)的子群,而且可以证明每个G(E/F)的子群一定对应着一个E的子域,这种对应是一一对应,这个神奇的对应被称做伽罗瓦对应。
通过伽罗瓦对应,我们把对复杂的域列问题的研究转换到了对伽罗瓦群的子群列的研究上,这就是打开方程根式可解的金钥匙。

伽罗瓦那不到20岁的头脑中,可能就已经想通了这些问题。当我想到这一点的时候,心中对伽罗瓦的钦佩感无以复加。就像有人评论,欧拉作为数学史上最伟大的数学家之一,他对数学贡献的丰富程度可能远超伽罗瓦,但是如果考虑到欧拉专心研究数学60年,而伽罗瓦仅仅是残缺不全的5年,那么从天赋上讲,大数学家欧拉完败于伽罗瓦。

四、美妙结论——正规子群、可解群、正规扩域
继续深入写下去所涉及到的数学知识、逻辑复杂度都大大的提升了。考虑到这篇文章的目的是寄希望于数学爱好者之外的人也能尽量理解,就不再深入描述后面的理论了。我承诺大家,从现在开始,不再使用任何数学符号了。

前面说了,E是每个Fi的正规扩域,但是相邻Fi之间却不一定是正规扩域。要知道,纯扩域必然是正规扩域,域列想成为根式塔,或者说相邻域都是纯扩域,就必然要求相邻Fi之间都是正规扩域。伽罗瓦证明了,相邻Fi之间都是正规扩域等价于对应的相邻伽罗瓦群是正规子群。

正规子群意味着商集合成群,或者说相邻伽罗瓦群的商群存在,如果这个商群是可换群(群内的“乘法”满足交换律),那么这样的伽罗瓦群被称为可解群。

通过进一步复杂的证明可以得到,域F上的方程f(x)的根域为E,如果伽罗瓦群G(E/F)是可解群,那么f(x)可根式求解;如果f(x)可根式求解,则伽罗瓦群G(E/F)必为可解群。即方程的根式可解等价于方程的伽罗瓦群为可解群!

从此,困扰了人们数百年之久的多项式方程根式可解问题被伽罗瓦漂亮而彻底的解决了,以他名字命名的伽罗瓦理论从此诞生。在解决这个问题的过程中,群论、域论交相辉映,迂回曲折,难怪当时的那些审评大师们如堕五里雾中。“就伽罗瓦的概念和思想的独创性和深刻性而言,任何人都是不能与之相比的。”法国数学家毕卡(C..Picard,1856-1941)在1879年评述19世纪数学成就时如是说。

再回想本文开篇引用的伽罗瓦自己所写的话“Jump above calculations,group the operations, classify them according to their complexities rather thantheir appearance; this, I believe, is the mission of future mathematicians;this is the road I'm embarking in this work.”,相信每个了解了伽罗瓦理论的人都会有更深刻的认识。

总结一下伽罗瓦的思想,一是在更高的层次上看待数和计算,形成了群、域的概念;二是通过域和扩域的方法给出了方程根式可解的更准确的数学定义;三是发现了域的某类自同构映射对应着方程根的置换,找到了方程根式可解的奥秘;四是找到了伽罗瓦对应这把打开奥秘大门的钥匙,把域列和群列优美的对应了起来;五是基于深刻的逻辑推导形成了可解群的概念,并证明了根式可解与伽罗瓦群是可解群的等价关系。

伽罗瓦理论是一个非常“好”的数学成果,它不是仅仅解决了多项式方程根式求解的问题,它还是一个非常有价值的数学工具,伽罗瓦理论的思想开创了代数学从研究“计算”到研究“结构”的先河,打开了现代代数学研究的大门。遗憾的是,200年后的今天,在网上查找抽象代数的相关知识时,中文的内容还是非常少。很多国人对数学的观念还停留在速算、数独、找规律甚至是脑筋急转弯的层面。这种状况可能还比不上200年前的法国。

真心希望国人能够对数学之美有着更准确的认识和欣赏能力,起码能理解200年前数学研究前沿达到的高度吧。

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