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伊朗女数学家 Maryam Mirzakhani——择善固执的曲面探险家

2017-7-20 10:37| 发布者: 炼数成金_小数| 查看: 14049| 评论: 0|原作者: Erica Klarreich|来自: 数理人文

摘要: 玛扬·莫札卡尼(Maryam Mirzakhani)的里程碑研究,深刻的连结拓朴、几何和动力系统。在八岁的年纪,莫札卡尼经常为自己编织一个优秀女孩如何冒险犯难的故事,每晚的睡前时光,她的女主角也许变成市长、环游世界, ...

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作者简介:Erica Klarreich 是美国纽约石溪大学(Stony Brook University)数学博士,加州大学圣塔克鲁兹(University of California, Santa Cruz)分校科学传播学程研究生。她从事数学与科学写作十余年,文章收入《2010年较佳数学写作选集》与《2011年较佳数学写作选集》。

翻译简介:林奕君,毕业于台湾大学数学系。

2017 年 7 月 15 日,首位女菲尔兹奖得主 Maryam Mirzakhani (中文译为“玛丽安·米尔札哈尼”,或“玛扬·莫札卡尼”,以下将使用后一种译法)因病去世,为追忆这位英年早逝的伊朗女数学家,特转载本刊 2015 年译自 Quanta 杂志对莫札卡尼的报道文章。

玛扬·莫札卡尼(Maryam Mirzakhani)的里程碑研究,深刻的连结拓朴、几何和动力系统。在八岁的年纪,莫札卡尼经常为自己编织一个优秀女孩如何冒险犯难的故事,每晚的睡前时光,她的女主角也许变成市长、环游世界,或是完成其他伟大的使命。 
 
现在,37 岁的莫札卡尼是斯坦福大学的数学教授,依旧在脑海中书写着精巧复杂的故事。她的雄心壮志未曾改变,只是主要的角色不一样了,变成双曲面、模空间、动力系统。莫札卡尼认为从某方面来看,研究数学就像写小说,「当中有很多角色,而且你会越来越了解他们,随着剧情演变,当你回头审视某个角色,他们早已和第一印象截然不同。」 
 
这位来自伊朗的数学家恣意跟随她的角色前行,即使故事情节经常要好几年才有进展。身材娇小又不服输的她,在数学界以拥有顽强毅力解决难题而闻名。她的博士指导教授哈佛大学的麦克穆兰(Curtis McMullen)说:「只要是数学,莫札卡尼就拥有无惧的野心。」 
 
拥有一双沉着的灰蓝色眼睛以及低沉的嗓音,莫札卡尼散发着坚毅的自信,同时却又不失谦逊。当被要求描述自己在特定研究中的贡献时,她笑了笑,迟疑了一下才回答:「说实话,我不认为自己有多大的贡献。」当她在二月收到电邮,通知她获得数学界较高荣誉的菲尔兹奖(2014 年在南韩举行的世界数学家大会中颁奖),莫札卡尼还认为寄信人的帐号被盗用了。 
 
但是,其他数学家对莫札卡尼的研究赞誉有嘉。曾和莫札卡尼合作的芝加哥大学数学家艾司金(Alex Eskin),认为她的博士论文「极为杰出」,这项研究探讨如何在「双曲」面上计数回圈(loop)的数目【注:本文的双曲面(hyperbolic surface)盖指曲率为−1的实曲面,不是一般微积分中的双曲面】。他说:「那是你一看就知道会被收录在教科书上的数学成果。」 
 
最近莫札卡尼的另一项重大突破是与艾司金合作的研究,探讨抽象曲面上与撞球台有关的动力系统。也任职于芝加哥大学的数学家法布(Benson Farb)认为,在莫札卡尼身处的激烈竞争领域中,「这或许是十年仅见的重要定理。」 

来自德黑兰的女孩 
自幼在德黑兰长大,莫札卡尼小时候并没有成为数学家的念头。她主要的目标只是读遍所有她找得到的书籍。她也会看介绍著名女性生平的电视节目,像是居礼夫人和海伦凯勒。后来她还曾读过《梵高传》(Lust for Life),这是一本关于梵高的小说。这些故事在她心中植入隐约的抱负,希望能在生命中做出一番伟大的事业,也许是成为一位作家。
 

莫札卡尼成长于伊朗,比起数学,她刚开始更热衷于阅读和写小说。(Mirzakhani 和 Quanta 提供) 
 
莫札卡尼在两伊战争快结束时从小学毕业,当时有心向学的学生多了许多学习的机会。她参加考试进入德黑兰的法桑尼根(Farzanegan)女中,这是由伊朗国家资优人才发展组织(National Organization for Development of Exceptional Talents)治理的菁英中学。莫札卡尼说:「我觉得自己算是幸运的一代,因为在我青少年时,社会状况已经趋于稳定。」 
 
在新学校的第一周,莫札卡尼认识了一辈子的好友贝荷西提(Roya Beheshti),她现在是圣路易华盛顿大学(Washington University in St. Louis)的数学教授。当时还是孩子的她们,总是喜欢在学校附近商圈成排的书店中探险。由于书店禁止阅读, 她们就随机挑书购买,莫札卡尼说:「虽然现在听起来很怪异,不过当时的书非常便宜,所以我们就直接买了」 。 
 
令莫札卡尼沮丧的是那年她的数学课表现很差,数学老师不认为她特别有天分,让她逐渐丧失信心。莫札卡尼认为在那种年纪,「别人怎么看你很重要,所以我失去了对数学的兴趣。」 
 
隔年,莫札卡尼遇到了比较会鼓励人的老师,于是她的表现开始突飞猛进。贝荷西提说:「从第二年开始,她就是一颗明星」。 
 
莫札卡尼继续就读法桑尼根女中的高中部,在那里她和贝荷西提拿到了当年选拔参加国际资讯奥林匹克竞赛的国家比赛试题,国际资讯奥赛是一个每年举办的高中生程式竞赛,选拔比赛将决定哪些高中生可以参赛。莫札卡尼和贝荷西提奋斗了好几天,尝试解决六题中的三题。虽然正式参赛者的时限是三个小时,莫札卡尼还是很兴奋她们能够解决其中任何一题。 
 
莫札卡尼和贝荷西提渴望发掘自己在类似竞赛中的潜力,于是两人要求校长仿照与该校并比的男子中学,安排开设数学解题班。莫札卡尼回忆说:「我们校长的个性很有魄力,如果我们真的非常渴望某样事务,她就会让它成真。」这位校长并不受伊朗国际数学奥赛队伍从未有女子参加的前例所影响,莫札卡尼说:「她的思想非常正面而乐观,『即便你是第一个,你也办得到。』我觉得这对我的一生有重大的影响。」 
 
1994 年,17 岁的莫札卡尼和贝荷西提成功进入伊朗数学奥赛国家代表队,莫札卡尼的成绩让她赢得推荐。隔年,她再度参赛并获得满分。参加竞赛让莫札卡尼发现自己的潜能,产生了对数学更深挚的热爱。她说:「你必须花上一番精力,才能看见数学之美。」 
 
法国巴黎第七大学的佐立克(Anton Zorich)认为,即使到了今天,莫札卡尼依旧保有「对于身旁发生的所有数学兴奋不已的 17 岁女孩形象。」 
 
哈佛的博士生涯 
根据麦克穆兰的观察,数学奥林匹克的推荐并不一定能转换成数学研究的成功。他说:「在竞赛中,有人事先设计题目,让它有绝妙的解答,但在数学研究里,问题也许根本就没有答案。」但他说莫札卡尼有别于许多奥林匹亚拿高分的选手,「她能够创造自己的观点。」 
 
莫札卡尼在 1999 年取得德黑兰沙里夫科技大学(Sharif University of Technology)的数学学士学位后,进入哈佛大学就读研究所,并开始参加麦克穆兰的专题讨论班。起初莫札卡尼并不了解他所说的大部分内容,但却对于双曲几何这个主题深感着迷。她开始到麦克穆兰的研究室,连珠般的发问决疑,并用波斯文快速记下笔记。 
 
麦克穆兰是 1998 年菲尔兹奖的得主,他回想说:「莫札卡尼具有大胆的想像力,她会对问题应该如何处理的过程,先在脑中形成一幅想像的图象,然后到研究室描述给我听,最后转身问我『这样对吗?』 我总是很得意她以为我知道答案。」 
 
莫札卡尼开始对双曲面着迷。双曲面是状似甜甜圈、拥有两个洞以上的曲面,它和标准的几何不同,粗略的说,这类曲面上每一点的附近都类似鞍面。双曲甜甜圈无法在日常空间中构造,而是以抽象的方式存在,曲面上的距离和角度是以一组特殊的方程来测量。如果受制于这组方程的曲面上有一种虚拟生物存活,它们会感受到曲面上的每一点都是鞍点。 
 
事实是每一个多洞甜甜圈上都有无穷多种双曲结构,就好像有胖、也有瘦的甜甜圈,或是两者的任意结合一样。自从发现双曲面一个半世纪以来,这些曲面已经成为几何学的中心主题之一,并连结到许多数学分支,甚至物理学。 
 
但是在莫札卡尼开始读研究所时,有一些关于这类曲面最简单的问题都还没有答案。其中一些是关于双曲面上的「直线」 或称为测地线(geodesic)的问题。就算是弯曲的曲面上也存在直线段的概念,也就是两点间的最短路径。在双曲面上,有些测地线可以无限延长,就像普通平面上的直线一样;但其他测地线则会形成封闭的回圈,就像普通球面上的大圆一样。 
 
在双曲面上,如果计数给定曲线长的封闭测地线数目,其数量会随着测地线长度增加,呈现指数成长。这类测地线在最后平滑接合之前,大多都会自交许多次,但其中有一小部分的简单测地线(simple geodesic)从未自交。法布说简单测地线是「解开整个曲面几何结构的关键概念。」 
 
但数学家却无法厘清,在给定长度时,一个双曲面到底有几条简单测地线。在所有封闭测地线中,法布认为简单测地线是「发生机率为零的奇迹」 。因此,要较精确计数简单测地线的数目非常困难,他说:「只要有一丝差错,答案就不对了。」 
 
莫札卡尼在 2004 年完成的博士论文回答了这个问题,她发展了一个公式,能够说明长度为 L 的简单测地线数目,如何随着 L 变大而增加。同时,她还连结了其他两个重要的研究问题,并双双解决。其中之一是计算所谓模空间(moduli space)的体积公式,模空间是一个给定曲面之所有可能双曲结构的集合。另一个是为一个旧猜想提出令人惊奇的新证明,她证明的是高等研究院物理学家威腾(Edward Witten)提出的猜想,其中涉及与弦论有关的模空间上的某种拓朴量度。威腾猜想非常困难,第一位证明它的是法国科学高等研究院(IHéS)数学家孔策维奇(Maxim Kontsevich),他在 1998 年因此获颁菲尔兹奖。 
 
法布认为解决这两个问题任何之一「已经是重大成就,将两个问题关联起来也是重大成就。」而莫札卡尼两者都办到了。 
 
莫札卡尼的博士论文产生三篇期刊论文,分别发表在三本顶尖的数学期刊上:《数学年刊》(Annals of Math)、《数学发明》(Inventiones Mathematicae)、《美国数学学会期刊》(Journal of the American Mathematical Society), 大部份的数学家永远也达不到这样的成就,法布说:「而她的博士论文就做到了。」 
 
巨神级的成就 
莫札卡尼认为自己是「慢」的人。和灵光一闪就能解决问题的数学家不同,莫札卡尼天生受深刻的问题吸引,可以反复咀嚼多年。她说:「经年累月之下,你会看到问题极为不同的面向。」有些问题她已经思考了十年以上,「但它们还在那儿,我能做的仍然不多。」 
 
能快速将问题一一击倒的数学家对莫札卡尼并不构成威胁。她说:「我不容易失望,在某种意义上,我相当有自信。」 
 
莫札卡尼缓慢而稳重的态度,同样可见于她生活中的其他领域。在哈佛读研究所的某一天,莫札卡尼与她未来的丈夫冯德拉克(Jan Vondrak)一同慢跑,他因而体认到她的这项特质。冯德拉克回忆说:「她非常娇小,而我体态良好,所以我自认会表现很好。一开始我的确跑在前头,但她从不减慢速度,半小时之后我跑完了,而她却依然以一样的速度跑着。」冯德拉克当时是麻省理工学院的研究生,现在则是 IBM 圣荷西阿马登研究中心(Almaden Research Center)的理论电脑科学家。 


莫札卡尼说她是用图象来思考数学,经常在大纸上涂鸦她的想法。(Thomas Lin 摄,Quanta 提供) 
 
莫札卡尼思考数学时,喜欢持续涂鸦,描画曲面或其他与研究相关的图形。冯德拉克说:「她在地板上铺上很大的纸张,花好几个小时,不断重复画着对我而言都长得一样的图形。」他还说家中的研究室里,书本和纸张凌乱的到处散落,「我不知道她这样要如何工作,但她最后都完成了。」他猜想也许「她所面对的问题太抽象、太复杂了,所以她不能够一步步的写出逻辑步骤,必须大步的跳跃。」
 
莫札卡尼说信手涂鸦能使她专心,在思考困难的数学问题时,「你不想写下所有细节,但画图的过程使你在某种程度上保持连结。」 莫札卡尼说她的三岁女儿安娜西塔(Anahita),在这位数学家母亲涂鸦时常常大喊:「妈妈又在画画了!」莫札卡尼说:「也许她以为我是画家。」
 
莫札卡尼的研究连结很多不同的数学领域,包括微分几何、复分析、动力系统。她说:「我喜欢跨越不同领域之间想像的界线,感觉很新奇。」在她的研究领域里,「有很多工具可用,但你不知道哪一个会成功。总之要保持乐观,并尝试建立它们之间的连结。」


到伊斯法罕的旅行,莫札卡尼与父母合影。(Mirzakhani 和 Quanta 提供)
 
麦克穆兰认为,有时候莫札卡尼所构造的连结非常具有冲击力。例如在 2006 年,她解决了双曲面几何结构如何依照类似平移断层地震机制变化的问题。麦克穆兰说:「在她之前,这个问题完全无从下手。」但莫札卡尼只用了一行证明,「就构造了一座桥梁,为这个极为晦涩的理论和另一个完全清晰的理论之间建立连结。」
 
2006 年,莫札卡尼开始她和艾司金成果丰硕的合作。艾司金认为莫札卡尼是他最喜欢的合作伙伴之一。他说:「她非常乐观,那很有感染力。当你和她共事,你会觉得自己有更大的机会,能够解决那些初看似乎没有任何希望的问题。」
 
在数度合作之后,莫札卡尼和艾司金决定着手对付该领域较大的未解问题之一。这个问题探讨撞球在撞球台上到处移动反弹的行为,其中撞球台的形状为内角是有理数的多边形。由于撞球台是根据给定规则随时间演变的系统,因此提供了动力系统最简单的例子之一,但是撞球的行为已知是出乎意料的难以清楚解析。
 
莱特(Alex Wright)是一位斯坦福的博士后研究员,他说:「有理数撞球台问题开始于一个世纪之前,当初一群物理学家聚在一起说,『我们来理解撞球在三角形中反弹的情况。』他们以为这个题目一周就能解决,没想到一百年后,我们还在思考这个问题。」
 
为了研究长度很长的撞球轨迹,一个有用的想法是想像将撞球台逐渐变形,向着轨迹的方向挤压,这样可以在给定时间内观察到更多的撞球路径。这样的变形把原来的撞球台逐渐变成一系列新球台,并在数学上所谓的模空间中形成一条路径,其中这个模空间是在给定边数下,所有可能的撞球台所构成的空间。如果将每个撞球台转换成称为「转译曲面」( translation surface)的抽象曲面,数学家能够运用包含所有转译曲面的模空间来分析撞球台的动力学(billiard dynamics)。研究人员已经证明,理解特定转译曲面因为挤压而在模空间中产生的移动轨道(orbit),能够帮助解决许多关于原初撞球台的问题。 

撞球的轨迹
若在撞球台边放置镜子,一颗在台边反弹的球,看起来就像继续向前滚入镜中的世界。沿着这条笔直的轨迹,一直进入一处又一处的镜中世界,球不断撞击撞球台边,经过有限次的反射,最后会得到一个定向与原始撞球台相同的撞球台世界。 

若把一连串有限的撞球台世界沿台边黏起来, 最后会得到一个多洞的甜甜圈曲面,这个曲面继承了撞球台的平面几何性质(除了撞球台的顶点)。原来撞球台上的撞球轨迹则对应到此曲面上的直线,因此这个曲面称为转译曲面。数学家已经证明,理解转译曲面的模空间,是理解撞球台问题的关键。 


表面上,这个移动轨道可能极为复杂,例如分形(fractal)。然而在 2003 年,麦克穆兰证明当转译曲面是双洞甜甜圈曲面,亦即亏格(genus)等于 2 时,情况并非如此。每一单一轨道不是占满整个空间,就是占满空间中称为子流形(submanifold)的子集合。
 
麦克穆兰的研究成果被誉为卓越的进展。但他回忆在论文发表前夕,当时还是研究生的莫札卡尼到他研究室问说:「为何你只探讨亏格 2 的情况?」麦克穆兰说:「莫札卡尼就是这样的人,被她看到一点线索,就想要全盘了解。」
 
经过几年的研究,在 2012 和 2013 年,莫札卡尼和艾司金以及部分与德州大学奥斯汀分校的默罕马迪(Amir Mohammmadi)的合作,他们成功将麦克穆兰的结果拓展至一般多洞甜甜圈曲面的情况。佐立克认为他们的分析是一项「巨大的成就」,并强调其应用远超出撞球台问题。佐立克说模空间:「在过去 30 年一直是学者热切研究的主题,但我 
们还是不了解它的许多几何性质。」
 
莱特认为莫札卡尼和艾司金的研究「开启了新纪元」,他花了数个月研读他们长达 172 页的论文。莱特说:「打个比方,以前我们试着用小斧头在红杉林中伐木,但现在他们发明了电锯。」他们的成果已经被拿来应用,例如解决警卫在复合镜室中的视线问题。
 
莱特在一封电邮中提到,在莫札卡尼和艾司金的论文里,「每一层困难和概念之下,又藏着另一层的困难,层层相叠,当我抵达中心时,不得不惊讶于他们建立的庞大机器。」 

莫札卡尼的乐观态度和坚强的意志力,是两人能坚持下去的关键。艾司金说:「有时我们会遭遇挫折,但她从不恐慌。」
 
现在回想起来,甚至连莫札卡尼也对当时两人能支撑下去感到惊奇。她说:「如果我们知道事情会那么复杂,我想我们可能已经放弃了。」她停顿了一下,接着说:「我不知道,真的,我不知道。我是不会轻易放弃的人。」

数学故事的新篇章 
莫札卡尼是第一位获得菲尔兹奖的女性。数学界的性别比例失衡是长期而普遍的情况,特别是菲尔兹奖,似乎和女性数学家的职业道路扞格。因为菲尔兹奖只颁给 40 岁以下的年轻数学家,而就在这样的年纪,许多女性必须为了生儿育女而暂停她们的职业。
 
但是莫札卡尼很确定,在未来会出现更多女性菲尔兹奖得主。她说:「有很多伟大的女性数学家正在从事重要的研究。」 


莫札卡尼摄于海边。(Mirzakhani 和 Quanta 提供) 
 
在她享受获得菲尔兹奖荣耀的同时,莫札卡尼说她并不想成为数学界的女性代表。她野心勃勃的青少年自我因为得奖而狂喜,但现在莫札卡尼渴望大家转移对她成就的注意力,好让她专心做研究。
 
莫札卡尼数学故事的下一个章节将有大计划。她已开始和莱特尝试发展出一份完整的清单,列出转译曲面轨道能够填满的所有集合种类。佐立克的文章写道,这份分类清单将会是理解撞球台问题和转译曲面的「魔杖」。
 
这不是小型研究,但莫札卡尼多年下来已经学会大器思考。她说:「你必须忽略那些唾手可得的结果,这需要点技巧。其实我不确定这是不是做研究较好的方式,因为这样会一路折磨自己。」但莫札卡尼很享受。「毕竟,人生本来就不该太容易。」

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