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哈佛数学系150年:从三流学系到世界中心

2017-8-7 16:05| 发布者: 炼数成金_小数| 查看: 14556| 评论: 0|原作者: 丘成桐|来自: 算法与数学之美

摘要: 如果其他地方的人,能懂得欣赏这些数学家如何做研究,如何建立起这个优秀的学 系,而且在这段过程里,还协助建立了哈佛大学的地位,我认为这会是很棒的事。更何况,这些伟大哈佛数学家的个人轶事,读来也饶有兴味。 ...

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如果其他地方的人,能懂得欣赏这些数学家如何做研究,如何建立起这个优秀的学 系,而且在这段过程里,还协助建立了哈佛大学的地位,我认为这会是很棒的事。更何况,这些伟大哈佛数学家的个人轶事,读来也饶有兴味。 

我喜欢阅读数学史,认为好数学家需要知道数学的重要概念如何演进。这些概念的演进充满 了生命力,就像从初生婴儿慢慢长大成人的过 程,这段路可能很戏剧化,而且充满了兴奋与 刺激。一旦我们了解数学发展的根源,就更能 理解当今数学的发展。我相信,哈佛数学系从 一个三流学系成长为领导中心的过程, 提供了很值得参考的个案,或许可以协助许多 想建立数学系的大学做为借鉴。我非常感谢我的合着者Nadis,他做了十分广泛的研究,并采访了许多哈佛的教师与校友。 

一、数学系的曙光:Peirce
我们的书是从1825年说起,当时16岁的Benjamin Peirce 刚进哈佛。当他1829年获得 哈佛学士学位时,并没有机 会在美国研究数学,因为当时的美国还没有学校设置博 士班。 Peirce因为经济因素 无法前往欧洲深造,结果他 先在预科学校(preparatory school)教了两年书,然後在 1831 年回到哈佛当导师 (tutor)。此後一直到1880 年去世为止,他一直留在哈佛。 

Peirce是第一位坚持数学家应该做原创性数学研究的美 国数学家,也就是说,数学 家应该要证明新定理,解决 那些尚无人能解的问题。当 时,不论在哈佛或美国其他 高等教育机构,这样的态度 绝非主流。 

Peirce在23岁时,出版了一项关 於完美数(perfect number)的 
证明,其中如果一个正整数的所 有因数和(包括1在内)等於该 数本身,就称为完美数,例如6 和28。当时所有已知的完美数都 是偶数,而Peirce证明了如果存 在奇完美数,它必定至少有4个 质因数。直到56年之後,英国数学家James Sylvester和法国数学 家Cl. Servais才能够证出相同的结果,但他们不晓得,Peirce早在 半个世纪前就完成了这项证明。 

然而,当时的哈佛校长Josiah Quincy却催促Peirce去编写教 科书,Peirce质问哈佛校方, 是否真要他从事「如此耗费时间,内容如此基本,对於渴望在科学达成更高成就的人完全没有价值」的工作。 当时做原创数学研究的概念实在太过奇特,在美国几乎是前所未闻,而且也几乎没有人有资格去尝试。 

多年之後, Peirce才在哈佛校长Thomas Hill身上,找到 志同道合的盟友。 Hill 说:「我们较好的教授整天被繁重的教学与备课责任所禁锢, 以致於根本没有时间与精力 去进行个人研究,提升科学 与知识。」 

Peirce花了大量时间在天文学研究上,并在1839年哈佛 学院天文台的建立过程中扮演关键的角色,他对「1843 年大彗星」以及当时新发现 的海王星 的计算 。 James Maxwell 和 Lord Kelvin都对Peirce的成就有高度评价 。 在 61 岁时 , Peirce以线性结合代数(linear associative algebra)为主题,写了一篇很长的论 文,被视为美国人第一个在纯数学中的重要贡献。 

1848 年 , Peirce 与他的杰出朋友们 , 包括Alexander Bache·Louis Aggassiz与Joseph Henry, 一起建立了美国科学促进会(American Association for the Advanced of Sciences)。他们也协助擘建了美国国家科学院(National Academy of Sciences), 其中Peirce正是最活跃的成员。当1880年Peirce去 世时,《哈佛砖红报》表示「上周Peirce教授的过 世,意味着本校失去了最闪耀的科学明星,甚至 最卓越的教授。」基於他对数学系的贡献,哈佛数学系仍称呼新进教师为Peirce讲师。 

Peirce的时代, 正是哈佛大 学数学系由教学开始转往研 究的时代。事实上,1869年就职的Charles Eliot校长─他 也是数学与化学教授─成立了哈佛的数学研究所,并由William Byerly在1873年成为 第一位数学博士。 

二、转变成研究导向的学系
哈佛数学系在Peirce过世之後, 经历了一段「倒退期」,根据Julian Coolidge的说法:「....科学活动是一落千丈。」需要多年之 後才能破茧重生。不过到了二十 世纪之交,William Fogg Osgood 
和Maxime Bôcher已经将哈佛建立成分析学领域的熠熠新星,分析学是数学的一支,包括微积分在内。他们将数学研究转变成数学系的核心任务,而不再是像Peirce这样特立独行之士的嗜好。 
面对其他大学的强大竞争,哈佛数学系俨然成为当时美国较好的 数学系。 

1876年,美国第一个研究型大学约翰霍普金斯大学正式 成立。一年後,他们聘请英国着名数学家Sylvester来领导一个以研究为导向的数学系。依照欧洲模式,约翰霍普 金斯大学坚持教师和学生的研究应尽可能在重要的期刊 上 发 表 。 事 实 上 , Sylvester 与 William Story · Simon Newcomb·Charles Peirce等人出版了美国第一个重要的数学研究期刊American Journal of Mathematics,其目标在於出版原创数学研究。尽管1883年Sylvester离开约翰霍普金斯,前往牛津大学任教,但他关於训练研究生与研究的想法被转移到其他大学,如哈佛·普林斯顿·耶鲁等。 

当时更受瞩目的是芝加哥大学数学系, 由Eliakim H. Moore担任系主任。1885 年,Moore在耶鲁获得博士学位,并到德国访问一年。Moore训练出几位重要的数学家:George D. Birkhoff· Leonard E. Dickson和Oswald Veblen。这些学生为哈佛·芝加哥·普林斯顿注 入深刻的影响。许多人相信Moore是「主要的驱动力,最後将美国从数学荒原转变成数学领域的领导者」 (引 自Karen Parshall的专着)。约翰霍普金斯和芝加哥都强调,他们的教授不但做研究,并且也教育学生要做相同的事,这样的态度导致美国数学界在二十世纪之交的明显提升。 

由於两位年轻教授Osgood和Bôcher的出现,哈佛数学系很快提高了它的国 际声誉。在1903年前80位美国数学家的排名里, Osgoode和Bôcher排在前 四 名 , 另 两 位 是 Moore 和 George William Hill(他曾与B. Peirce在麻州剑 桥的航海年鉴局( Nautical Almanac Office ) 中 共 事 ) 。 有趣的是,当 Osgood和Bôcher还是大学部学生时,都曾经到哥廷根去跟Felix Klein学习, 时间分别是两年与三年。Klein对美国数学的发展有很深的影响。他的学生 Frank Nelson Cole就是Osgood和Bôcher 的哈佛导师。(特别的是,Klein有六 位学生,包括Osgood和Bôcher,都曾经担任美国数学学会的主席)。 

Osgood在德国埃尔朗根大学,由Max Noether指导得到博士学位,并且做了函数论方面的重要研究,其中包括证明Riemann映射定理。Bôcher的论文则是跟Klein做的,他在那儿研究势论(potential theory),後来并解明Fourier 级数中的Gibbs现象。Bôcher培育了许多学生,并且在 1908年到1914年担任Annals of Mathematics的主编。他同 时也是Transactions of the American Mathematical Society 的创刊人,并且在Moore之後,担任该刊的第二任主编达五年。Bôcher和Osgood留下了足以自豪的成就:他们 
为美国数学界打下了分析领域的坚实基础。经由他们的努力,哈佛数学系不仅是美国较好的数学系之一,即使 与欧洲较佳的数学系相比,也毫不逊色 

三、Birkhoff的崛起
George David Birkhoff的大学部是在哈佛念的,在此期间 他深受Bôcher的影响。接着他到芝加哥大学,在Moore 的指导下取得博士学位。哈佛在1910年时提供他教职,但他回绝了,选择去普林斯顿。两年後,他改变心意, 於1912年回到哈佛任教。 

Birkhoff代表了下一代完全在美国受教育的学者。他的数学才能闻名全世界,证明了即使不去欧洲,也可以得到的数学教育。 他和其他一些由美国大学栽培的优秀数学家, 都充分具备了将来能够领导学术领域和数学系所的能力。美国本土的数学根基已在形成, 从而完成了Peirce生前未能实现的梦 想 。 Birkhoff以及他同时代的数学家,将会证明重要的定理,做出许多卓越的贡献。 

Birkhoff的重大成就多不胜数,首先是他关於有限制条件三体问题的着名研究 。 这是Henri Poincaré在 1912 年去世前想解决的问 题 , 结果Birkhoff在Poincaré去世後三个月内解决了这个问题,不过, Birkhoff告诉他的学生Marshall Stone,做这个问题,让他体重减轻了三十磅。这个证明成为将分析学的存在性证明连结到拓朴不动点定理的首例。 

麻省理工学院的知名数学家Norbert Wiener,把 Birkhoff比喻为「出现在哈佛数学苍穹上的璀灿明星。……更独特的是,Birkhoff的研究全是在美国完成,并未受益於任何国外的训练。」 Birkhoff标志了美国数学成熟期的起点。他直到 1926年才造访欧洲,当时距他开始在哈佛教书 已有14年。 

附带一提,Wiener在1913年从哈佛大学得到博士学位,正是Birkhoff回到哈佛的第二年。Wiener是一位年轻的天才,改变了机率和资讯论的面貌。 但他极不善於待人接物,无法和系上每个人相处 融洽。他转到麻省理工或许对数学界是较好的结 果,因为在那里他能够更自由的钻研应用数学, 并且对工程科学的基础做出巨大贡献。 

Birkhoff的众多成就使得他成为20世纪 最伟大的数学家之一。他在广义动力系统的工作为他赢得了首届的 Bôcher 奖。1927年,Birkhoff出版了经典着作《动力系统》(Dynamical Systems)。它把动力系统的架构远远扩展到星球轨 道的课题之外。该书包含了许多创见 不过并未包含他在这个主题上最重要 的 贡 献 : 遍 历 性 定 理 ( ergodic theorem)。Wiener称赞Birkhoff的遍历 性定理是一项精心力作;「遍历性假设的正确表述及其定理的证明,是美国数学界·乃至全球数学界,近来的 最 重 要 成 就 之 一 , 这 两 者 都 是 由Birkhoff完成的。」这个卓越的定理可 以上溯到Maxwell 和 Ludwig Boltzmann 试图建构气体动力论的努力。 

Birkhoff是第一位数学家,把变分学的极大极小论证,用在与球面拓朴等价的曲面上,得出不无聊的简单封闭测地线。 这可以视为是威力强大的Morse理论的起点。创造这个理论 的Marston Morse正是Birkhoff的学生。Birkhoff对广义相对论 也有重要贡献,他证明了一个(和黑洞有关的)定理,说爱 因斯坦方程只有一个球对称的解。他还提供了解决四色问题 的重要工具,这个数学名题在60年後的1976年才由Kenneth Appel和Wolfgang Haken解出。 

除了数学成就之外,Birkhoff还指导了46名博士生,迄今为止,出自他门下的数学家已超过7300名。他有四名学生日後成为美国数学会的主 席:Stone·Joseph Walsh·Charles Morrey和Morse。他的学生又再栽培出许多优秀数学家。例如,Walsh在取得博士学位後留在哈佛,带出了 31名学生,其中包括Lynn Loomis和 Joseph Doob 。 Birkhoff 有三位门生——Morse·Hassler Whitney和Stone─获得国家科学奖章。他的其他许多 学生都有卓越的数学贡献,并且在 哈佛或是美国的其他系所成为领导人。 

四、分析·代数与拓朴的相遇
Morse·Whitney和Mac Lane·Marston Morse是Birkhoff的博士生,他的论文题目是关於如何建立分析与拓朴的关 联 , 这是一个已由 Riemann · Poincaré 和 Birkhoff奠立的传统。Morse特别感兴趣的是函数达到极大值·极小值或某种平稳值 的(临界)点。这属於古典变分学的一部分,其历史可以回溯至Euler,乃至Fermat。Birkhoff已用它来证明与球面同胚的闭曲面 上的封闭测地线的存在性定理。但Morse 更进一步把临界点的存在性连结到该函数 定义空间的拓朴性质。他的方法在现代拓 朴学有深刻的用途,因此被称为Morse理论。 

在Morse及其追随者Raoul Bott· Stephen Smale 等人手中 , Morse理论成为研究微分拓朴 的基本工具。一些重要的方法, 像 Smale 发展出来的柄把空间分解 ( handle-body decomposition ) , 是根据Morse 理论而来的。 Smale是Bott的 学生 。 四维以上的Poincaré猜想即是用Morse理论解决的。 

Hassler Whitney也是Birkhoff的学生, 他发展了把流形浸入欧氏空间的理论。流形上的向量丛,即是由此研究衍生的课题。特别是,Whitney引入了向量丛 的 Stiefel-Whitney 类。这种示性类的想法, 又被Pontryagin 和陈省身进一步发展。

示性类和纤维丛的理论协助奠立了现代几何和拓朴的础石。它是规范场论的基础,规范场论是用 於描述所有粒子基本作用力的理论。在发展示性类理论的过程中, Whitney也引入了上同调理论,这是现代拓朴和代数的基本观念。(James W. Alexander独立发明了上同调的观念。) 

我任职普林斯顿高等研究院时遇见Whitney,他那时显得 相当孤单。他跟我说,他是我在柏克莱的老师Morrey的好友。Morrey也是Birkhoff的学生,他是偏微分方程现代非线性理论的创始人。Morrey的一项知名成果是1949年 时解决Plateau问题─他证明三维空间中的任何闭曲线,如果符合适当条件 , 就会是某肥皂膜的边 界 。 受到 Plateau问题的启发,Morrey向Whitney请教:可以浸入平 面的闭曲线该如何分类?Whitney告诉我,他把Morrey的 问题当成挑战。Whitney的方法又在Smale手中得到进一步发展。这个理论的最广义形式现在被Mikhail Gromov称 为h原理,据他所云,这理论具有广泛的用途。 

Saunders Mac Lane不是哈佛的毕业生,他是在哥廷根受 Hermann Weyl 指导的学生 。 当 William Caspar Graustein当哈佛系主任时,Mac Lane接受了Peirce讲师的教职。他在哈佛待到 1947年,然後转到芝加哥大学。他和Samuel Eilenberg合作,把拓朴和代数这两门重要的数 学分支融合成一门两者紧密结合的新学问;他 们一起发展出同调理论的公设化研究理路;建构了在同伦理论计算中非常重要的Eilenberg-MacLane空间。这些想法也引发了代数和群论的重大发展。 

五、 复分析与几何
芬兰人Lars Ahlfors 1907年出生於赫尔辛基,他是第一个在哈佛数学系获得终身教职的欧洲数学家。当加入哈佛时,他已经是第一流的国际 明 星 。 他在1936年 , 与麻省理工的 Jesse Douglas共同获得第一届的费尔兹奖。Ahlfors後来还获得沃尔夫奖 

1935年时 , 在 Constantin Caratheodory 的大力推荐 之下,Graustein提供给他 为期三年的客座讲师职。他最後在1946 年加入数 学 系 , 1977年退休 。Ahlfors是继19世纪德国数学家Riemann之後,又一个复分析领域(特别是从 几何角度来探讨)的伟大开拓者。 

Ahlfors是芬兰大数学家Rolf Nevanlinna的弟子,後者带他认识了Denjoy猜想,这是一个关於复平面上全纯函数渐近行为的着名猜想。Ahlfors在1930年解决这个问题。约略同时,瑞典数学家Arne Beurling在巴拿马猎鳄鱼时,也独立 提出他的证明。(Beurling在1948至1949年任教於哈佛, 然後去了普林斯顿的高等研究院。)Ahlfors还曾提到:「我不知道德国数学家Grötzsch已经发表了数篇和我想法 类似的论文。」Beurling成为他毕生的挚友和竞争者,而 Ahlfors 也把 Herbert Grötzsch 的 一些想法运用到准保角(quasi-conformal)映射的研究上。 

Ahlfors创立并且触及复分析的每一面向,大部分是从几何的角 度。他在证明Denjoy猜想时,已经研究了保角映射中长度和面 积的扭曲。他广泛的发展这些几何想法,然後将成果总结成一 篇 名 为 〈 覆盖空间的主定理 〉 ( Zur Theorie der überlagerungsflächen )的论文 , 於1935年发表在Acta Mathematica。这篇论文为他在次年赢得费尔兹奖。关於这面奖牌有个逸闻:1944年,当Ahlfors需要筹集从瑞典到瑞士的旅费,他把奖牌送进了当铺(後来经由几位瑞典友人的协助,奖 牌被赎了回来)。在1939至1940年芬兰冬季战争期间,他花了 大量时间躲在防空掩体里, 撰写一篇名为〈 半纯曲线论〉(The Theory of Meromorphic Curves)的专题论文,该文以非常几何的方式,把Nevanlinna的理论推广到多维空间中的复曲线。 

我的老师陈省身,在Ahlfors这篇论文发表四十年後,曾予以透澈研究。事实上,Ahlfors 透过Riemann面的几何,给出了Schwarz引理的完美诠释。它展示出负曲率如何有助於控制全纯映射的行为。Ahlfors的这项原理激发了近五十年来高维复分析的发展。Ahlfors在极值长度(extremal length)·准保角映射·Riemann面模空间·Klein群等主题的研究,开启了现代复分析的新地平线。 

六、大战馀波:Gleason·Mackey以及Hilbert空间
二次大战时,由於教师参军或自愿投入研发支 援同盟国,哈佛数学系大幅缩减。例如Stone 担任美国数学学会的战争政策委员会主席; Walsh应召入伍进入海军;Coolidge在七十岁的高龄还从退休重返教职,替正在保卫国家的教授同僚教微积分。 

Mac Lane则领导以哥伦比亚大学为本营的应用数学群,专门研究战争相关的问题。成员包括哈佛的拓朴学家Whitney;担任Peirce 讲师的Irving Kaplansky,他原来 是Mac Lane的博士生;另外还有哈佛讲师George Mackey,他是Stone以前的学生。 

Garrett Birkhoff(G. D. Birkhoff的儿子和Loomis以及麻省理工学院的Norman Levinson合作,预测 空中发射鱼雷的水底轨迹。他也和Morse与John von Neumann加入一个委员会,分析如何促进防空炮弹的效用,以及穿射坦克装甲的问题。战後, Garrett Birkhoff开始探索混合纯数与应数的数学问题。G. D. Birkhoff则为哈佛的Howard Aiken寻找资金,建造当时世界上较大·威力最强的计算器─哈佛马克1号,用来做射击弹道的计算,後来 也为曼哈顿计画作计算。 

Stanislaw Ulam在1936至1940年成为哈佛学会(Harvard Society of Fellows)的年轻学者与数学系讲师。他後来加入曼哈顿计画负责繁复的数值计算,帮助设计出第一颗原子弹。Ulam後来发明蒙地卡罗法,以统计方法来解决数学问题。他也是发展氢弹的关键人物。物理学家 Edward Teller 曾经这样评价Ulam:在真正危急的时候,数学家仍然胜出,只要他真的很好的话。 

Andrew Gleason是耶鲁的大学生, 1942年毕业之後旋即加入位於华 盛顿特区的海军密码分析小组。 他曾协助破解日军的密码,伟大的计算机科学家Turing盛赞他的研究聪颖。 1946 年Gleason离开海军,先成为哈佛学院的年轻教师,後来成为数学系的教授直到退休。一直到1990年为止,他一 直都是政府情报体系的顾问。他引入了许多分析密码的重要数学 技术,结合了他的编码理论研究与庞大的纯数学课题研究。 

Gleason非常着迷於Ramsey理论,这是一门和数算东西·寻找秩序有关的理论,可以从似乎无 秩序的结构中找出有组织的子结构。 他和Robert Greenwood 算出R(4, 4)等於18,也就是说你必须找到18个人,才能确保其中至少有4个人完全不认识对 方,或是彼此都认识。

不过Gleason最知名的工作是Hilbert第五问题。 这个问题属於1900年Hilbert在巴黎世界数学家大 会所提出的23个问题。第五问题是局部欧氏群 是否必然是李群。许多伟大的拓朴学家都曾经试 图解决这个问题但却都失败。Gleason为这个问 题做出最关键的贡献,最後才由高等研究院的 Deane Montgomery与纽约城市大学皇后学院的 Leo Zippin联合解决。 

Gleason并没有博士学位, 他自认 Mackey是他的恩师。Mackey是现代 群表现论的铸造者,他也在量子物 理基础上有重要贡献。Mackey对他 的指导教授Stone与von Neumann所 构筑的理论很感兴趣,这项理论试图解释Heisenberg的测不准原理,也就是一个粒子的位置测量较精确度与其动量测量较精确度成反比 。 Mackey 可以将 Stone-von Neumann 的理论摆置在一个广义的数学脉络 中。Andre Weil随後注意到Mackey 理论中的特例,和数论中的一些深 刻理论很有关系。 

Mackey对於Max Born法则很感兴趣,亦即在某时某地找到一 物的机率密度等於其波函数绝 对值的平方。Von Neumann与 Mackey想要从第一原理出发, 说明以单位向量表示状态是数 学上可证明的 。 由 於 Von Neumann用的一些公设约束性太大,Mackey想要移除它们。 Mackay重新将这个问题用精准 的数学形式来呈现,写成一个 猜想。Gleason被这个猜想所激 励,投入研究最後证明它。 

Mackey的表现论着重於酉表现( unitary representation),他以导出表现(induced representation) 为基础, 发展了所谓的「Mackey 机器」。这个理论在包括量子 物理与数论的几项主题的发展上有很深刻的影响。

七、欧洲人:Zariski·Brauer与Bott
二次大战之後,有好几位一流欧洲数学家加入 哈佛数学系的阵容。除了 Ahlfors(1946)之外, 还有Oscar Zariski (1947)·Richard Brauer (1952) 和Raoul Bott (1959)。每一位都对这个系以及他们的专长领域造成巨大的影响,这些领域主要 分别是代数几何·群论和拓朴。 

虽然Zariski是第一位在哈佛数学系拿到终身教职的犹太人,他在数学上的宏大冲击和宗教信仰并无关系(事实上他自认是无神论者)。Zariski和Weil重新整顿了代数几何,将它置於比从前更坚实·也更代数的基础 之上,他们形塑了代数几何领域的日後发 展,为未来几十年的进步奠下基石。 

1899年Zariski出生於俄罗斯的科布林,1918年就读於基辅大学。他在当时的俄国革命中受伤,离开俄罗斯到罗马萨皮恩札大学读书,当时这里是研究代数几何的世界中心,教师阵容中有三位伟大的代数几何家:Guido Castelnuovo·Federigo Enriques与Francesco Severi。他们就是(义大利)古典代数几何的象徵与本尊。代数几何是一个以各种方式结合代数与几何的领域,运用代数技巧来解决几何问题。 

Zariski在罗马待了三年,并深深受到义大利几何学家的影响。不过Castelnuovo却告诉他:「你虽然在这儿和我们一起,却不是我们的一 员。」Castelnuovo此言并非斥责,而是一种敦厚的善意,因为Castelnuovo曾告诉Zariski,义大利学派的方法已经穷竭所有可能,走到尽头,不适合再往前发展。後来Zariski发现发现义大利学派的代数几何「基础摇晃不安。」他需要修正Severi的证明,但Severi却说:「我们贵族 是不 做证明 的 , 证明是你们庶民的事 。 」 

Zariski将代数几何基础的重建视为己任,并在抵达美国之後才完成。 

Castelnuovo和Severi鼓励Zariski去研究Solomon Lefschetz新颖的拓朴研究,他接受这项建议,并透过Lefschetz协助找到工作,1927年成为约翰霍普金 斯的研究员,一年之後就升任副教授 Zariski在约翰霍普金斯任职大约20年後,成为哈佛的一员。 

在这段期间,Zariski决定从崭新的角度探索代数几何,1935年,他出版《代数曲面》,在二维曲面上实践他的新观点。事实 上,Zariski重建了代数几何的基础,而他所使用的语言是现代的交换代数 , 这 是 他1934至1935年在普林斯顿高等研究院,从Emmy Noether那里学到的。 

在1937年,Zariski曾说:「我的研究特性经历了剧烈的改变,不论是使用的方法或是问题 的叙述方式,其特徵都益发代数取向。」 但 是他也补充说:「纯粹形式的代数或形式数学并非我天生的性向,我和真实的生活也有 非常多的接触,那就是几何学,几何才是真实的生活。」 

关於这个新的代数取径 ,Zariski 的博士广中平佑(Heisuke Hironaka)说,一旦证明是以代数为基础,严格性 就是自然的结果,这也帮忙数学家处理那些无法眼见的高维度形体 。 这个想法对 Weil 和 Zariski发 展以任意体为基之几何也极为重要,也就是说他们 所处理的代数空间并不只限於实数或复数坐标。其中最奇特的是有限代数解形(variety),事後证明这对现代数论非常重要。 

1940年,在Birkhoff的强力推荐下,哈佛准备提供Zariski终身教职,填补刚退 休的Coolidge与1941年初Graustein过世所留下的空缺。於是,该年Zariski到哈 佛访问一年。不幸的是,由於日本轰 炸珍珠港, 大学当局冻结了教职 , Zariski只能回约翰霍普金斯大学担任教学吃重的职务。 不过在这段期间, Zariski证明了他知名的「主定理」以及连通性定理。 根据他的博士生David Mumford所言,他运用代数中的基进概念,并萃取了几何的内涵。这正是Zariski长久努力为代数几何奠基研究的 一环。整体而言,Zariski成功撑起代数几何基础的成就,也许比他证明的任 一个别定理都还更重要。 

Zariski在1947年终於成为哈佛教席的一员,他让哈佛在接续而来的三十年中,成为代数几何 的世界中心,就像几十年前的罗马大学一样。 Zariski将顶尖的学者带进哈佛,他推动关键的教席任命,邀请明星级的访问学者如Jean Pierre Serre与Alexander Grothendieck,并且以他研究的高度与个人魅力,吸引了一批优秀的研究生。 

Zariski在四十年代的重要数学成就,是关於代数曲线与代数曲面 奇点的解消( resolution ), 这导致数十年後,1964年广中平佑所有维度奇点解消的伟大定理, 他另一位学 生 Shreeram Abhyankar 在1956年解决了有限体代数流形(不超过二维)的解消问题,约十年後,Abhyankar 又解决了三维的情况。 

除了广中平佑与Abhayankar之外,Zariski所训练的杰出学生还有Mumford与Michael Artin, Zariski学生的整体成就改变了整个代数几何的主题。今天关於代数几何最核心的部分,大多得归功於这一群数学家。 

Richard Brauer在他职业生涯的中期来到哈佛,当时他的整体成就已经令人印象深刻,但是此後他还有更多的成 果。他是Issai Schur在柏林大学的学生, 博士论文的主题是群表现。1933年, 他离开德国,在高等研究院待了一段时间 , 1934至1935年成为大数学家Weyl的助理,随後在经历多伦多大学 与密西根大学的教职後,加入哈佛的教席。在多伦多时,Brauer投入有限群及其群表现的研究,在这个主题里, 他获得许多优异的成就,并结合成一 个宏大的理论:有限单群的分类,这是所有有限群的基础。他在1955年的论文〈偶数阶的群〉中提出一个分类单群的策略,後来被称为「Brauer纲领」。 

Walter Feit说是Brauer踏出关键的第一步,才让他们有可能证明出知名的Feit-Thompson定理:「所有奇数阶有限群都是可解的。」John G. Thompson因为这个定理获得费尔兹奖。 

1972年,Zariski的另一个学生Daniel Gorenstein提出一个16步骤的纲领,试图证明所有有限单群若不隶属於18族群,就只属於例外的26种「异散群」(sporadic groups)。这个纲领的最後一块拼图, 是一篇长达1200页的论文,作者是加州理工学院 的Michael Aschbacher与伊利诺大学芝加哥校区的 Stephen Smith。 

1923年,Raoul Bott生於布达佩斯,他毕业於加拿大麦基尔大学,并在Richard J. Duffin的 指导下,在卡内基美仑大学就读应用数学研 究所。他和Duffin解决了电路网理论中一个 十分有挑战性的问题,Weyl十分欣赏这项研究,邀请Bott到普林斯顿高等研究院访问。在那里Bott结识了Morse,学习Morse的临界点理论,并将它推广到临界点非孤立的情况。

运用这个推广的Morse理论,Bott进行了计算李群同伦群的卓越研究,还发现人意外的现象:他发现当n很大 时,SO(n)的同伦群竟然出现周期8的现象。而SU(n)的同伦群则出现周期2。 根据Michael Atiyah的说法,Bott这篇1957年的论文是一枚「炸弹」,现在这项定理称为「Bott周期性定理」。 这个发现影响极大,开始了拓朴与几何一波接一波的发展,尤其是K理论的进展,这是关於向量丛的研究,肇 始於 Grothendieck · Serre · Atiyah 与 Friedrich Hirzebruch。这是Bott在他还 是密西根大学教授时所完成的工作。 

在John Tate的大力推荐下,Bott於1959年来到哈佛就职,系主任Zariski说:「Bott 正是让他感觉无聊沉闷的系可以再度鲜活起来的较佳人选。」Bott在哈佛一直待到他退休为止。 

Bott其他极具影响力的工作包括了1964年的Atiyah-Bott固定点公式,以及他与Atiyah合作的等变上同调理论 ( equivariant cohomology)。 

Bott对数学社群与数学系的影响远超出他所发表的论文。他训练出好几位杰出的数学家, 包括在密西根时期的Smale,哈佛时的Daniel Quillen与Robert McPherson。 

雇用Ahlfors·Zariski·Brauer·Bott以及随之而来的其他数学家,哈佛向大洋另一边的数 学家打开大门,更丰富了数学系·数学领域· 甚至数学文化的发展。 

Bott说过他感谢「这个国家,以崇高的心灵与慷慨的胸怀接受这麽多来自不同海岸的人, 不介意我们的口音与其他差异,让我们能适才适性,竭尽所能。」 

八、结论
今天的哈佛数学系和往日一样优秀,承续着开系先贤的传统。在2009年的一次晚宴中,Tate宣称现在是本系的全盛时期。这句话也许略嫌夸张,但是我必须承认,这个系继承了让它在过去150年如此伟大的恢弘传统。 

哈佛数学系规模仍然很小,只有18位资深教席。我们依然相信品质是聘任终身教职时最重要的标准,也继续开放给所有族裔与国籍的杰出数学家,只要他们愿意奉献於研究, 并且为哈佛大学训练出较好的学生。 

Birkhoff於1912年来到哈佛,从那时开始,在世界上最优秀的心智领导之下,数学系已经发展了100年的高阶研究。 

回顾这段历史,再比较其他国家还在奋力发 展一流数学研究的大学,我们有下列结论:
1. 20世纪之交正是美国发展高层科学研究的恰当时机,主要的大学如约翰霍普金斯·耶鲁·芝加哥·哈佛都戮力於争取欧洲较好的学者(例如Sylvester),并尽全力培育较好的学生(如Birkhoff·Whitney·Morse…)。这些 努力也受到大学校长(如Eliot)与院长(如 Graustein)的强力支持。他们都有极力成为 世界上较好大学的远大愿景。 

2. 在十九世纪下半, 美国的经济状况大有改善, 其盛势持续至今。 私人捐赠者捐献大量的金钱给大学,例如John D. Rockfeller捐给耶鲁与芝加哥 , Leland Stanford则捐赠他所有的钱财建立了史丹福大学。 他们对高等教育的无私态度, 举世无匹。 而且这样的奉献态度依然保持到今天。

3. 基於大学所提供的良好环境,以及优秀大学彼此之间的良性竞争(相较於某些新发展国家大学的台面下竞争), 教授与学生於是能奉献精力於原创性的研究。 
我们也能体认到当时研究者研究数学时的强大自信。例如Birkhoff在无人指导的情况下,竟然敢孤身尝试解决Poincaré留下来的有限制条件三体问题,显示了当时数学领导者的自信。
Birkhoff不觉得他有需要前往德国跟随大师学习,自己就开展了许多新颖的领域,也栽培了具有同等创造力的学生。他之所以能完成这份艰难的工作,部分得归功於哈佛能够汇聚一批资赋优异的学生,这些哈佛大学部与研究所学生的总体贡献让哈佛成为名校,他们跟随大师学习,开辟自己的领域与研究子题。 

4. 这些领导人心胸开阔,愿意尝试新颖的研究方向。从Birkhoff时期一直到今天,哈佛的 教师与学生在变换新研究方向时从来不畏缩。 因此开拓了很多新领域:现代拓朴学·动力系统·遍历论·资讯论·非线性偏微分方程·几何观点的复变分析·基於代数的代数几何基础·群论·数论等等,几乎包括所有对数 学具有根本重要性的领域。 

5. 数学系的气氛非常友善,因此许多一流的访问学者都能与我们的教授和学生进行交流。在这样的环境中,新理论逐一诞 生,并进而刺激年轻学生继续向前探索。 

6. 尽管资深教师的人数很少,但他们都投入大量努力去教导学生。教师和学生愉快的 一起工作,他们以哈佛为荣,愿意维护哈佛的崇高名声。 

7. 美国是较大的移民国家,十八世纪前开发东部和南部,独立战争更要联合法国对付英国在海上的威胁,十九世纪时向西部殖民,充满冒险开创的作风,影响及於学术。 同时多民族的社会鼔励良性的学术竞争,开国至今,社会大致上兼容并蓄,这在其 他国家并不多见。 

让哈佛如此伟大的也许还有其他原因,但我相信以上是最关键的因素。 

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